在数学领域中，平行向量是一个非常基础且重要的概念。两个向量如果方向相同或相反，则称它们为平行向量。这一特性在几何学、物理学以及工程学等领域都有着广泛的应用。

首先，我们来明确一下平行向量的定义。设向量a和向量b是任意两个非零向量，若存在一个实数k，使得向量a=kb成立，则称向量a与向量b平行。这里的k被称为比例系数，它可以是正数也可以是负数。当k>0时，表示向量a与向量b的方向相同；而当k<0时，表示两者方向相反。

接下来，让我们探讨一下如何利用坐标表示来判断两个向量是否平行。假设向量a=(x₁,y₁)和向量b=(x₂,y₂)，那么根据平行向量的定义，我们可以得出以下条件：

1. 如果x₁/x₂=y₁/y₂，并且分母不为零，那么向量a与向量b平行。

2. 当然，在实际操作过程中，为了避免除法运算可能带来的误差，我们通常会采用交叉乘积的方法来进行验证。具体来说，就是检查x₁y₂-x₂y₁是否等于零。如果这个表达式的值为零，则说明向量a与向量b平行。

此外，值得注意的是，对于零向量而言，它与任何向量都平行。这是因为无论取什么样的实数k，零向量始终能够满足k零向量=零向量的关系式。

最后，平行向量的概念还可以推广到三维空间中的向量。对于三维向量a=(x₁,y₁,z₁)和向量b=(x₂,y₂,z₂)，它们平行的条件同样是x₁/x₂=y₁/y₂=z₁/z₂（分母不为零），或者通过交叉乘积的形式进行判断。

综上所述，平行向量的判定不仅依赖于代数方法，同时也需要结合几何直观来进行理解。掌握好平行向量的相关知识，有助于我们更好地解决各种实际问题。