在物理学中，匀变速直线运动是一种常见的运动形式，其特点是加速度恒定不变。为了更好地理解这一运动规律，我们可以通过数学推导来证明一个重要的结论：做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度。

已知条件：

- 假设物体做匀变速直线运动。

- 时间段为 \( t \)，起始时间为 \( t_1 \)，结束时间为 \( t_2 \)。

- 物体的初速度为 \( v_0 \)，末速度为 \( v \)。

- 加速度为 \( a \)，且在整个过程中保持不变。

推导过程：

1. 位移公式

根据匀变速直线运动的位移公式：

\[

s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2

\]

其中，\( s \) 表示位移，\( t \) 表示时间。

2. 平均速度公式

平均速度定义为总位移除以总时间：

\[

v_{\text{avg}} = \frac{s}{t}

\]

3. 中间时刻的速度

中间时刻的时间为 \( t_{\text{mid}} = \frac{t_1 + t_2}{2} \)。

根据匀变速直线运动的速度公式：

\[

v(t) = v_0 + a t

\]

在中间时刻 \( t_{\text{mid}} \)，物体的瞬时速度为：

\[

v_{\text{mid}} = v_0 + a t_{\text{mid}}

\]

4. 代入中间时刻表达式

将 \( t_{\text{mid}} = \frac{t_1 + t_2}{2} \) 代入上式：

\[

v_{\text{mid}} = v_0 + a \cdot \frac{t_1 + t_2}{2}

\]

5. 平均速度与中间时刻速度的关系

根据匀变速直线运动的性质，平均速度等于中间时刻的瞬时速度。因此：

\[

v_{\text{avg}} = v_{\text{mid}}

\]

6. 验证

通过上述推导可以看出，无论物体的初速度和加速度如何变化，只要运动是匀变速的，那么在某段时间内，中间时刻的瞬时速度总是等于该段时间内的平均速度。

结论：

通过严格的数学推导可以证明，做匀变速直线运动的物体，在某段时间的中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度。

$$

\boxed{v_{\text{mid}} = v_{\text{avg}}}

$$

这一结论不仅具有理论意义，也在实际问题中提供了极大的便利。