在高等数学和线性代数中，行列式是一个重要的概念，它不仅用于判断矩阵是否可逆，还在求解线性方程组、计算几何体积等方面有着广泛的应用。对于四阶行列式的计算，虽然其形式较为复杂，但通过一定的方法和技巧，我们可以有效地完成计算。

一、四阶行列式的定义

设有一个4×4的方阵A，其元素为a₁₁, a₁₂, ..., a₄₄。四阶行列式记作|A|或det(A)，其定义可以通过递归的方式给出：

\[

|A| = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot M_{ij}

\]

其中，M_{ij}表示去掉第i行和第j列后剩余的子矩阵的行列式，称为余子式；(-1)^{i+j}是符号因子，取决于元素的位置。

二、展开方式

1. 按行展开

可以选择任意一行（或列）进行展开。假设我们选择第一行展开，则有：

\[

|A| = a_{11}C_{11} - a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} - a_{14}C_{14}

\]

其中，C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} 是代数余子式。

2. 降阶法

对于每个代数余子式C_{ij}，需要进一步计算对应的三阶行列式。这样逐步降低阶数，直到达到可以直接计算的一阶行列式为止。

三、具体步骤示例

假设给定一个四阶方阵A如下：

\[

A =

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

5 & 6 & 7 & 8 \\

9 & 10 & 11 & 12 \\

13 & 14 & 15 & 16

\end{bmatrix}

\]

我们尝试按第一行展开：

\[

|A| = 1 \cdot C_{11} - 2 \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{13} - 4 \cdot C_{14}

\]

接下来分别计算每个代数余子式C_{ij}对应的三阶行列式。例如，C_{11}对应的是去掉第一行和第一列后的子矩阵的行列式。

最终经过一系列计算后，可以得到四阶行列式的值。

四、注意事项

- 在实际操作中，为了避免繁琐的手工计算，可以借助计算机软件（如MATLAB、Python等）来实现。

- 注意符号因子(-1)^{i+j}的正确应用，避免因疏忽导致错误。

- 如果矩阵中有大量零元素，应优先选择包含这些零元素的行或列进行展开，以简化计算过程。

通过以上方法，我们可以系统地掌握四阶行列式的计算方法，并灵活应用于各种实际问题中。