定理表述

设在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，交对边BC于点D，则有以下比例关系成立：

\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]

这意味着角平分线将对边分成两段，其长度比等于两边的长度比。

定理证明

为了证明上述定理，我们可以利用面积法或相似三角形的方法。这里采用面积法进行简要说明：

1. 构造辅助线：过点A作AE垂直于BC，垂足为E。

2. 计算面积：△ABD和△ADC的面积分别可以用公式 \( S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} BD \cdot AE \) 和 \( S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} DC \cdot AE \) 表示。

3. 利用角平分线性质：由于AD是角平分线，所以∠BAD = ∠CAD，从而得出△ABD和△ADC的高相等。

4. 得出结论：由面积比等于底边比可得 \( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \)。

应用实例

例题1：已知△ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求BD和DC的长度。

根据定理 \( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{7} \)，设BD=x，DC=y，则有 \( x + y = 8 \) 且 \( \frac{x}{y} = \frac{5}{7} \)。解方程组可得 \( x = \frac{20}{3}, y = \frac{16}{3} \)。

例题2：判断一个点是否位于某角的角平分线上。

若给定点P到△ABC三边的距离分别为d1, d2, d3，并且满足 \( \frac{d1}{d2} = \frac{AB}{AC} \)，则点P必位于∠BAC的角平分线上。

总结

三角形角平分线定理以其简洁的形式和广泛的应用成为几何学中的经典定理之一。通过掌握该定理及其证明方法，可以更深入地理解三角形内部结构的关系，同时也能有效提高解决相关问题的能力。希望读者能够在学习过程中不断探索和应用这一宝贵的知识点。