在数学学习过程中，我们经常会遇到各种类型的函数及其性质。其中，“对勾函数”是一种较为特殊的函数形式，其图像呈现为一个类似于对号（√）的形状。这类函数通常表达为 \( y = x + \frac{k}{x} \) （其中 \( k > 0 \)），其顶点坐标是研究该函数的重要特征之一。
那么，如何求解对勾函数的顶点坐标呢？以下是详细的推导步骤：
第一步：明确顶点定义
顶点是指函数图像上的极值点（即最大值或最小值）。对于对勾函数而言，其顶点对应于函数的局部极小值点。
第二步：求导数
为了找到极值点，我们需要先对函数求导。设 \( f(x) = x + \frac{k}{x} \)，则其一阶导数为：
\[
f'(x) = 1 - \frac{k}{x^2}
\]
第三步：令导数等于零
要找到极值点，需令 \( f'(x) = 0 \)。因此有：
\[
1 - \frac{k}{x^2} = 0
\]
整理得：
\[
\frac{k}{x^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 = k \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{k}
\]
第四步：判断极值类型
通过二阶导数测试来判断 \( x = \pm \sqrt{k} \) 是否为极值点。计算二阶导数：
\[
f''(x) = \frac{2k}{x^3}
\]
当 \( x = \sqrt{k} \) 时，\( f''(\sqrt{k}) > 0 \)，说明此处为局部极小值；当 \( x = -\sqrt{k} \) 时，\( f''(-\sqrt{k}) < 0 \)，说明此处为局部极大值。
因此，函数的顶点坐标为 \( (\sqrt{k}, f(\sqrt{k})) \) 和 \( (-\sqrt{k}, f(-\sqrt{k})) \)。
第五步：计算顶点坐标的具体值
将 \( x = \sqrt{k} \) 和 \( x = -\sqrt{k} \) 分别代入原函数 \( f(x) = x + \frac{k}{x} \) 中：
\[
f(\sqrt{k}) = \sqrt{k} + \frac{k}{\sqrt{k}} = \sqrt{k} + \sqrt{k} = 2\sqrt{k}
\]
\[
f(-\sqrt{k}) = -\sqrt{k} - \frac{k}{\sqrt{k}} = -\sqrt{k} - \sqrt{k} = -2\sqrt{k}
\]
综上所述，对勾函数 \( y = x + \frac{k}{x} \) 的顶点坐标分别为 \( (\sqrt{k}, 2\sqrt{k}) \) 和 \( (-\sqrt{k}, -2\sqrt{k}) \)。
总结
通过对勾函数的定义与性质分析，我们可以得出其顶点坐标的计算方法。这一过程不仅帮助我们理解了函数的几何意义，还锻炼了利用微积分工具解决问题的能力。希望以上内容能为大家提供清晰的思路！
