在数学中，复数是一个非常重要的概念。复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为 \(a + bi\) 的形式，其中 \(a\) 和 \(b\) 是实数，而 \(i\) 是虚数单位，满足 \(i^2 = -1\)。

1. 加法与减法

两个复数相加或相减时，只需将它们的实部和虚部分别相加或相减即可。假设我们有两个复数 \(z_1 = a + bi\) 和 \(z_2 = c + di\)，那么：

\[

z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i

\]

\[

z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i

\]

2. 乘法

复数的乘法遵循分配律，并且利用 \(i^2 = -1\) 的性质。对于复数 \(z_1 = a + bi\) 和 \(z_2 = c + di\)，它们的乘积为：

\[

z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

\]

3. 除法

复数的除法需要通过分子和分母同时乘以分母的共轭来实现。如果 \(z_1 = a + bi\) 和 \(z_2 = c + di\)，那么 \(z_1 / z_2\) 可以写成：

\[

\frac{z_1}{z_2} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}

\]

最终结果为：

\[

\frac{z_1}{z_2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}

\]

4. 模与共轭

复数的模是指复数到原点的距离，定义为：

\[

|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

\]

复数的共轭是将复数的虚部取反得到的数，记作 \(\overline{z}\)，即：

\[

\overline{z} = a - bi

\]

这些基本的复数运算公式在工程学、物理学以及许多其他领域都有着广泛的应用。理解和掌握这些公式对于深入学习数学和其他相关学科至关重要。