【1的平方加2的平方一直加到n的平方的公式怎么来得?】在数学中，求自然数平方和是一个常见的问题。我们常常需要计算从1² + 2² + 3² + … + n² 的总和。这个公式虽然看起来简单，但它的推导过程却蕴含着数学的巧妙与逻辑。
一、公式总结
1的平方加2的平方一直加到n的平方的公式为：
$$
S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
$$
二、公式来源简析
这个公式的来源可以追溯到数学家高斯、欧拉等人的研究。其推导方式有多种，包括数学归纳法、递推关系、差分法等。以下是一种较为直观的推导思路：
方法一：数学归纳法
1. 验证初始情况
当 $ n = 1 $ 时，$ S = 1^2 = 1 $
公式给出：$ \frac{1(1+1)(2×1+1)}{6} = \frac{1×2×3}{6} = 1 $，成立。
2. 假设对 $ n = k $ 成立
即 $ S_k = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} $
3. 证明对 $ n = k+1 $ 成立
$ S_{k+1} = S_k + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 $
化简后可得 $ S_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} $，即公式成立。
三、公式应用举例（表格展示）
| n | 计算式 | 公式计算值 | 实际结果 |
| 1 | 1² | 1×2×3/6 = 1 | 1 |
| 2 | 1² + 2² | 2×3×5/6 = 5 | 1 + 4 = 5 |
| 3 | 1² + 2² + 3² | 3×4×7/6 = 14 | 1 + 4 + 9 = 14 |
| 4 | 1² + 2² + 3² + 4² | 4×5×9/6 = 30 | 1 + 4 + 9 + 16 = 30 |
| 5 | 1² + 2² + 3² + 4² + 5² | 5×6×11/6 = 55 | 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 |
四、小结
1的平方加2的平方一直加到n的平方的公式是数学中的一个重要结论，它不仅简洁明了，而且在数列、统计、工程等领域都有广泛应用。通过数学归纳法或差分方法都可以推导出该公式，而实际应用中，只需代入数值即可快速得到结果。
理解这个公式的来源，有助于我们在学习数列和级数时建立更扎实的数学基础。
